经济计划问题 Economic Planning

本文是关于经济计划问题的内容，包括经济计划问题介绍、构建数学模型、求解结果及试用展示。

正文共：1809字

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01 · 问题介绍

投入产出模型是一种广泛使用的经济规划模型，它反映了政府或企业不同产业或业务部门之间的经济相互关系。投入产出模型通常被认为是LP模型的一种特殊类型。

例如，一个经济体由三个产业组成：煤炭、钢铁和交通。每个产业的产出通常用于两个目的：

（1）直接消费，例如将煤炭出售给国内消费者;（外生需求）

（2）作为其他行业或经济部门的投入，例如为钢铁行业提供动力的煤炭。（内生需求）

如何规划投入与产出量，以达到不同经济目的呢？我们展示一个简单案例。

煤炭、钢铁和交通的生产需要本身及其他产业的投入。如，生产钢铁的高炉需要煤，采煤的机器需要钢。假定投入产出成正比，投入量之间比例固定。由于经济中存在时滞，t+1年的产出需要t年投入。表1给出了单位（价值1英镑）产出所需的投入和人力需求。

表1 各产业单位产出所需的投入和人力需求

每个产业的产出也可用于未来几年为本身或其他产业扩大生产能力。t年某个行业的投入使得t+2年生产能力的永久增加。表2给出了增加单位（价值1英镑）生产能力所需的投入。

表2 增加单位生产能力所需的投入

货物库存可以逐年持有。表3列出了目前（第0年）的库存和生产能力（每年）（单位：百万英镑）。每年的人力容量有限，为4.7亿英镑。

表3 目前(第0年)的库存和生产能力

希望调查未来五年经济可能的不同增长模式。特别是，希望了解追求以下目标将产生的增长模式：

（1）在五年结束时最大限度地提高总生产能力，同时满足每年6000万英镑的煤炭，6000万英镑的钢铁和3000万英镑的运输的外源消费要求（除了第0年）。

（2）在第四年和第五年最大化总产量（而不是生产能力），但忽略每年的外生需求。

（3）最大化总人力需求（忽略人力容量限制），同时满足（1）的年度外生需求。

在不同的优化目标下，我们需要给出以下决策：

直接决策：

• 各产业的每年产出量

• 每年各产业新增生产能力

间接决策：

• 每年期初库存水平

• 各产业用于第t+1年产业投入的产出量

• 各产业用于第t+2年产能扩大的产出量

02 · 构建数学模型1 · 决策变量

• x _it = t年第i个产业的总产量（i =C（煤），S（钢），T（运输），t =1，2，...，5）

• s _it = t年初第i个产业的库存水平（t =2，3，…，6）

• y _it =第i个产业在t年生效的额外生产能力（t =3，4,…，7）

其他符号：

• e _i 表示第i个产业的消费需求,

• c _ij 表示第t+1年j产业单位产出需要第t年的i产业投入,

• d _ij 表示第t+2年j产业单位产出需要的第t年i产业投入

2 · 模型约束

（1）需求量与产出量平衡

（2）人力能力限制

（3）生产能力限制

为了建立一个现实的模式，有必要考虑五年期结束后的情况。如果忽略第六年及以后年份的外生需求，将导致第五年没有投入。因此，我们假设外生需求在第5年之前和之后保持不变，库存水平保持不变，并且在第5年之后生产能力没有增加。

x_i5是第5年及以后第i产业的（静态）产出。这组三个方程给出了变量的下限，

在上面的总输出约束中，对于t=5， x_i5将被设置为大于或等于这些值。对于t≥6，y_it将被设置为0, s_it=s_i5

3 · 目标函数

在这个目标下，人力限制被忽略。该模型有45个变量和42个约束条件。

03 · 求解结果

按照第一个目标（第5年总生产能力最大化），表4所示的增长模式使第5年的总生产能力达到21.42亿英镑。数量按百万英镑计算。

表4 目标1下的经济增长模式

按照第二个目标（在第四年和第五年使总产量最大化），表5所示的增长模式使得这两年的总产量为26.19亿英镑。

表5 目标2下的增长模式

按照第三个目标（最大限度地提高人力需求），表6所示的增长模式导致总的人力使用量为24.5亿英镑。

表6 目标3下的增长模式

第一个目标显然导致集中努力建立煤炭工业的能力，这是因为额外的煤炭产能的生产使用了相对较少的其他产业的产出。第二个目标是在运输业方面多下工夫，部分原因是运输业比其他产业使用较少的人力。第三个目标下煤炭工业再次繁荣，是由于煤炭工业需要大量的人力。

04 · 试用展示参考文献

[1] Williams, H. P. (2013). Model Building in Mathematical Programming (5th ed.). Wiley.

作者 | 刘思佳

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本文转载自久章智能微信公众号（原文发布于 2025-01-05），内容保持原貌。扫码关注公众号「久章智能」，第一时间获取智能决策系列文章。阅读原文 ↗