本文是关于农产品定价问题（Agricultural pricing）的相关内容，包括问题介绍、数学模型建立、问题求解及应用展示。
一、问题描述
某国政府希望决定牛奶、黄油和奶酪等乳制品的价格。这些产品直接或间接来源于该国的原料奶生产。原料奶可以有效地分为两个成分：脂肪和干物质。在扣除用于出口或农场自用的脂肪和干物质后，每年总共可用于生产国内消费的牛奶、黄油和两种奶酪的原料是：600千吨脂肪和750千吨干物质。这些产品的成分百分比如表1所示。上一年，这些产品的国内消费量和价格如表2所示。
表1 某国乳制品的成分百分比
表2 某国乳制品的消费量和价格
根据过去的统计数据，已计算出消费者需求与每种产品价格相关的需求价格弹性。产品的价格弹性E定义为：
对于两种奶酪，当价格相对变化时，消费者需求之间会出现一定程度的替代关系。这种替代关系通过需求的交叉弹性来衡量。产品 A 对产品 B 的交叉弹性EAB定义为：
表3列出了各产品的弹性和交叉弹性数据。
表 3 各产品的弹性和交叉弹性
目标是确定价格及由此产生的需求，从而使总收入最大化。
然而，允许某个价格指数上升在政治上是不可接受的。由于该指数的计算方式，这一限制简单地要求新的价格必须确保去年消费的总成本不会增加。一个特别重要的附加要求是量化这一政治限制所带来的经济成本。
需要解决以下问题：
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如何制定乳制品的价格，才能最大化总收入？
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限制价格指数上升在政治上是不可接受的，如何量化这一政治限制所带来的经济成本？
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若调整脂肪和干物质资源总量上限，最优定价方案会如何变化？
二、数学模型建立
为求解该问题，建立一个非线性规划问题。定义以下决策变量：
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x i ：产品 i 的消费量（单位：千吨）, i=1,2,3,4;
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p i ：产品 i 的价格（单位：1000英镑/每吨）;
此外，定义以下参数：
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a ij ：产品 i 的第 j 种原料成分的占比, j=1,2;
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b j ：第 j 种原料的最大供应量;
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d i ：产品 i 去年的消费量（单位：千吨）;
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e i ：产品 i 去年的价格（单位：1000英镑/每吨）;
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P c ：价格指数，和去年的价格和消费量有关，P c =∑ i d i e i /1000=1.939;
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E i ：产品 i 的价格弹性;
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E AB ：产品 A 对产品 B 的交叉弹性;
约束条件：
1. 脂肪和干物质的有限供应约束：每种原料的总消耗量不能超过其最大供应量
2. 价格指数的限制条件约束：新的价格必须确保去年消费的总成本不会增加
3. 牛奶和黄油产品的弹性约束：产品的消费量和价格的关系
4. 两类奶酪产品的交叉弹性约束：产品的消费量和价格、替代品的关系
目标函数：
目标函数是最大化总收入，即最大化每种产品的消费量和价格乘积的和，具体形式为：
三、问题求解及应用展示
以下是我们开发的网页版求解器，可以调整参数，进行一键求解：
如下图所示，点击优化定价，求解器很快给出了最优结果：最优总收入为1991586千英镑，脂肪使用量为600千吨,干物质使用量为535千吨，比上一年增加的收入为52096千英镑。政治限制带来的经济成本为370414千英镑。
农产品定价-Agricultural pricing-演示视频
本文转载自久章智能微信公众号（原文发布于 2024-12-26），内容保持原貌。扫码关注公众号「久章智能」，第一时间获取系列文章。阅读原文 ↗